Problema 258

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez,

profesor colaborador de la Universidad de Valladolid
Problema 73.
Demostrar que si el ángulo A de un triángulo ABC vale
60, la recta que une el ortocentro con el centro del círculo
circunscrito forma con los lados AB y AC, un triángulo equilátero.
Matemática Elemental (1933): Tomo II, N.3, página 49

Solución de

Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en la Universidad de Comillas (Madrid).

:

Podemos suponer sin pérdida de la generalidad que . El caso de la igualdad podemos omitirlo porque coinciden el ortocentro y el cicuncentro. En los demás casos, sea B’ un punto sobre AC tal que ABB’ sea un triángulo equilátero y sea C’ un punto sobre la recta AB de tal modo que ACC’ sea también un triángulo equilátero. Entonces, el ortocentro será la intersección de la recta perpendicular a AC que pasa por el punto medio de AB’ y la recta perpendicular a AB que pasa por el punto medio de AC’. El circuncentro es la intersección de la recta perpendicular a AC que pasa por el punto medio de AC y la recta perpendicular a AB que pasa por el punto medio de AB, y como AB=AB’ y AC=AC’, HO es paralela a BB’ y CC’ y por tanto el triángulo que forma con las rectas AB y AC es equilátero.