Problema 264

Diez. Ejercicio 9: Supongamos que los puntos P y Q se encuentran sobre la circunferencia K descrita alrededor del triángulo ABC. Demostrar que el punto de intersección de las rectas correspondientes de Simpson p y q describe una circunferencia K' cuando A, B, P, Q están inmóviles y C recorre K.

Lyúbich, Y.I., Shor, L.A. (1976, original ruso, 1978 edición en español. ). Método cinemática en problemas geométricos. Lecciones populares de matemáticas. Editorial Mir. Moscú. (traducción de Lozhkin, G.A.). (pág 51)

Reseña:

A veces, para resolver un problema geométrico, es útil imaginar las transformaciones que sufrirán los elementos de la figura a examinar, si algunos de sus puntos empiezan a desplazarse. La dependencia de unos elementos en función de otros puede pasar a ser evidente en este caso y la solución del problema saltará a la vista.

Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (11 de julio de 2005)

CONSTRUCCIÓN DE LA RECTA DE SIMPSON p

TRIANGULO DEL ENUNCIADO

figura 1

Partiremos de un círculo cualquiera, que consideraremos como circunscrito a un triángulo ABC. Sobre dicho círculo colocamos tres puntos A, B y C. Consideraremos que A y B son fijos, mientras que C puede desplazarse sobre el círculo.

Considerado C de forma DINÁMICA podemos decir que el ángulo ACB es tal que su vértice describe una circunferencia y sus lados pasan por dos puntos fijos de la misma circunferencia y por lo tanto (ARCO CAPAZ)

EN UN TRIANGULO ABC, FIJADA LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA Y BC

TEOREMA I

Dado un triángulo ABC, las proyecciones de un punto cualquiera de la circunferencia circunscrita sobre los lados del triángulo están alineados en una línea recta llamada Recta de Simpson.

CONSTRUCCION DE LA RECTA p

figura 2

Tomamos un punto cualquiera P sobre el circulo circunscrito. Consideraremos P como un punto fijo.

Proyectamos (ortogonalmente) P sobre AB; obtenemos el punto U. Como P es fijo y AB es fijo, deducimos que

U ES UN PUNTO FIJO.

Proyectamos (ortogonalmente) P sobre BC; obtenemos el punto V.

La recta de Simpson del punto P es

Por el TEOREMA I anterior, si W es la proyección ortogonal P sobre CA

LUGAR GEOMÉTRICO DEL PUNTO W AL DESPLAZARSE C SOBRE SU CIRCULO

figura 3

Considerado C de forma DINÁMICA podemos decir que el ángulo PWA siempre es recto y sus lados pasan por dos puntos fijos P y A; por lo tanto (ARCO CAPAZ)

EL LUGAR GEOMÉTRICO DE W ES LA CIRCUNFERENCIA DE DIÁMETRO AP

EL ÁNGULO AWU Y EL ÁNGULO CWV

figura 4

Considerado C de forma DINÁMICA podemos decir que el ángulo AWU es tal que su vértice describe una circunferencia y sus lados pasan por dos puntos fijos A y U de la misma circunferencia y por lo tanto (ARCO CAPAZ)