Problema 265 (Para el aula)

Sea ABC un triángulo equilátero de centro O y lado 3.

Sea M un punto del lado AC tal que CM = 1 y sea P un punto del lado AB tal que AP = 1.

Calcula las medidas de los ángulos del triángulo MOP.

X Olimpíada Matemática Rioplatense San Isidro, 12 de Diciembre de 2001

Nivel A – Primer Día

http://www.oma.org.ar/enunciados/omr10.doc

Solución de Alicia Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en la Universidad de Comillas (Madrid) (10 de agosto de 2005)

La altura del triángulo es 3sen (60º), y sabemos que el punto medio del triángulo equilátero está a 1/3 de la base y 2/3 del vértice, sobre la altura. Sabemos que el punto M está a distancia sen (60º) del vértice C y a cos (60º) de la altura. Luego la distancia “vertical” entre los puntos M y O es sen (60ª) Conocidas estas relaciones, deducimos que los ángulos del triángulo PMO son 30º; 120º y 30º, como se puede observar en la figura.