Problema 279

Sea ABC un triángulo y P un punto arbitrario en su plano donde se cortan las cevianas AA´, BB´y CC´, donde A´está en BC, B´ en CA y C´ en AB.
Consideremos en los triángulos AC´B´, BA´C´ y CBA´, definimos los siguientes pares de puntos : B1,C1; A2C2; A3B3; tales que B1,A2 están en AB, C2,B3 están en BC, A3,C1 están en CA, y verificando que B´B1 //CC´, C´C1//BB´, A´A2//CC´, C´C2//AA´, A´A3//BB´, y B´B3//AA´
Definimos los puntos P1 intersección de las rectas B´B1 y C´C1,
P2 intersección de las rectas A´A2 y C´C2,
P3 intersección de las rectas A´A3 y B'B3.
Y, por último, definimos el punto P* como intersección de las tres rectas A´P1, B´P2 y C´P3, que le podemos llamar como el punto conjugado de P respecto al triángulo ABC.
Demostrar que :
a) El triángulo P1P2P3 es semejante al triángulo A´B´C´, indicando las características de la transformación geométrica que lo produce.
b) Probar que el punto P* es el baricentro de cada uno de los pares de puntos P1, A´ , P2, B´, P3C´, respectivamente.
c) ¿ Qué pasaría con el enunciado anterior y sus conclusiones a), b), si P fuera un punto notable del triángulo,baricentro, G, circuncentro, O, incentro, I, u ortocentro H.
d) Hallar todos los puntos del plano del triángulo ABC, tales que P= P*.
e) Hallar en cada uno de los casos el lugar geométrico de los puntos del plano del triángulo tales que :
e1) El triángulo A´B´C´ sea semejante al triángulo ABC,
e2) Los triángulos AC´B´, BA´C´, y CB´A´ sean semejantes al triangulo ABC,
e3) Los tres triángulos anteriores junto con A´B´C´ sean semejantes al triángulo ABC.

Romero, J. B. (2005): Comunicación personal.