Problema 285

                     Sea la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo en el vértice A .

                    Consideremos una ceviana arbitraria AA´, donde A´es su pie sobre el lado BC, y sea A*, el punto donde corta la circunferencia circunscrita.

                     Por los vértices B y C, trazamos los segmentos BB* y CC*  paralelos a AA´, y donde B* y C* son los puntos donde estos segmentos corta al circunferencia circunscrita cuyo centro es O..

                     Probar que :

a) El triángulo A*B*C*  es congruente o isométrico al triángulo ABC.

b) Si G y G* son los baricentros de los triángulos ABC y A*B*C*, entonces el segmento GG* es

paralelo a AA*  y es 1/3 de AA*.¿ Qué ocurre con los incentros de esos triángulos con relación a AA´?

c) Al variar la ceviana AA´sobre el lado BC se construyen infinitos triángulos congruentes a ABC.

               Se pide :

         c1) Lugar geométrico descrito por  todos los baricentros de esos triángulos

          c2) Lugar geométrico descrito por todos los incentros de esos triángulos.

d) ¿Qué se podría decir si hacemos la construcción anterior para los catetos del triángulo rectángulo anterior?

e) ¿Qué se podría decir de todo lo anterior para un triángulo cualquiera, obtusángulo o acutángulo?

Romero J.B. (2005): Comunicación personal