Problema 296

Sea ABC un triángulo de lados a=BC, b =AC y c =AB. Sea, DEF un triángulo inscrito en ABC, tal que los puntos D, E y F, estén respectivamente sobre los lados BC, AC y AB.

                 Si S´, es el área de DEF y S es el área de ABC respectivamente, se pide :

a) Hallar  el cociente de las áreas S´/S.

b) ¿Cuánto vale S`/S si las cevianas AD, BE y CF, concurren ?

c) Si D, E y F son los pies de las medianas, S’/S=1/4

d) Si D, E y F son los pies de las bisectrices interiores, es

S’/S= 2abc/((a+b)(a+c)(b+c))

e) Si D, E y F son los pies de las alturas, es:

S’/S=(( a²+b²-c²) (a²+c²-b²) (b²+c²-a²))/ (4 a²b²c²)

f) Si D, E y F son los pies de las perpendiculares a los lados desde el centro de la circunferencia inscrita.

S’/S=((a+b-c) (a+c-b) (b+c-a))/ (4abc)

g) Comparar los resultados de f) y e)

Scheffer, J.( 1881 ) : "On the Ratio of the Area of a Given Triangle to That of an Inscribed Triangle" The Analyst, (Nov). Vol.8 N.6 , pp.173-174