Problema 270.-

Un triángulo ABC, verifica entre uno de sus lados, a, la mediana correspondiente a ese lado ma, y el radio del círculo circunscrito R, la relación:                 a2 = 4∙R∙ma.

Probar si es cierto o no que aparte de los triángulos rectángulos en A, hay, al menos otro.

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid. Romero, J.B. (2005): Comunicación personal (Dedicado a Murray S. Klamkin)

Solución de F. Damián Aranda Ballesteros, profesor del IES Blas Infante de Córdoba, España.

Según las siguientes expresiones de la mediana, , y del  radio, , podemos ahora expresar la relación dada de esta otra manera equivalente:

 

 a2 = 4∙R∙ma Þ a4 = 16∙R2∙m2a  Þ a4 = 16∙R2∙m2a Þ

Teniendo en cuenta que:

 a2 = b2+c2−2∙b∙c∙cosA Þ     2∙b2+2∙c2 = 4∙b∙c∙cosA + 2∙a2 y, sustituyendo, obtenemos:

             Þ            Þ        .

En definitiva:

  Þ       

Veamos que, en efecto, existirá otra solución aparte de los triángulos rectángulos en A.

En efecto, de la relación a2∙cosA +4∙b∙c = 0, deducimos que:

 

(b2 + c2 − 2∙b∙c∙cosA )∙cosA  + 4∙b∙c = 0              Þ       

−2∙b∙c∙cos2A + (b2 + c2)∙cosA + 4∙b∙c = 0

 

Esta ecuación tiene dos soluciones de distinto signo.
Nos interesará para nuestro propósito la solución negativa.
.

Veamos cómo podemos construir el triángulo a partir de esta expresión de cosA.

 

 

 

 

 

Sean dados los segmentos OU como unidad, y los segmentos OB=b y OC=c

En primer lugar, calculamos gráficamente los segmentos de longitudes b2 y c2 como los cuartos proporcionales en las siguientes proporciones:

                                                           ;                     

Así ya podemos calcular el segmento de longitud (b2+c2)2 :

                                                          

Continuamos ahora con el cálculo del segmento de longitud 32∙b2c2 siguiendo la proporción:                                                                       

Ahora calculamos el segmento de longitud  como media proporcional en la proporción:

                                                          

Así ya tenemos el segmento de longitud orientada negativa igual a la expresión , que usaremos cuando tengamos que realizar con posterioridad el cálculo del ángulo A tal que (negativo)

Por otro lado, el denominador 4bc lo podemos obtener fácilmente de:

Por fin, el segmento orientado negativamente como cos A lo calcularemos a partir de la proporción:

Teniendo el segmento cuya medida orientada negativa es cos A, resulta ya fácil determinar en el círculo goniométrico (de radio igual a la unidad) el ángulo obtuso A que, junto a los segmentos dados b y c, nos permitirá construir finalmente el triángulo ABC.