Problema 270

Un triangle , verifica entre un dels seus costats, a, la mitjana corresponent a haches costat i el radi del cercle circumscrit R, la relació:

.

Proveu si es certa o no que a banda dels triangles rectangles en A, Hi ha d’altres.

Solució de Ricard Peiró y Estruch profesor del IES 1 de Cheste:

Nota: Si el triangle és rectangle , aleshores , .

Aleshores s’acompleix la relació .

Suposem que s’acompleix la relació: .

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

.

. Simplificant:

.

Aleshores la relació s’acomplirà quan:

Elevant al quadrat la inequació:

Aplicant la fórmula de la mitjana en funció dels costats:

.

. Simplificant:

, Aleshores, l’angle A és recte o obtús.

Com resoldre’l en regla i compàs partint de a i :

a) Dibuixar un triangle rectangle d’hipotenusa a i catet , ().

Siga . Aleshores,

b) dibuixar el costat .

c) Dibuixar el punt mig M del costat .

d) dibuixar sobre el costat l’arc capaç de :

e) Dibujar la circumferència de centre M i radi que talla l’arc capaç en el punt A.

f) Dibuixar el triangle que acompleix les hipótesis del problema.

Prova amb Cabri:

Figura barrosos270b.fig

Applet created on 2/09/05 by Ricard Peiró with CabriJava