Problema 272
Una línea recta que pasa por el incentro de un triángulo ABC corta a los lados AB y AC en los puntos D y E respectivamente. Sea P el punto de intersección de BE y CD.
Si X, Y y Z son los respectivos pies de las perpendiculares desde P a BC, CA y AB, demuestre que:  

1/PX = 1/PY + 1/PZ

Propuesto por el profesor José Manuel Arranz San José, profesor de Educación Secundaria de Ponferrada (León).
Oposiciones Secundaria (2005) Baleares.

Solución de F. Damián Aranda Ballesteros, profesor del IES Blas Infante de Córdoba, España.

Sea la anterior configuración, donde hemos trazado las perpendiculares desde los puntos D y E hasta el lado BC, siendo D_a y E_a, sus respectivos pies. Así que podemos ahora realizar las siguientes consideraciones:

· El punto P divide al segmento BE en la razón [m:1].
Es decir,

· El punto P divide al segmento CD en la razón [n:1].
Es decir,

· El punto I, Incentro del triángulo ABC, divide al segmento DE en la razón [p:1].
Es decir,

RELACIONES QUE DETERMINAN EL VALOR DE PX EN FUNCIÓN DE m, n, p y r.

Con el par de triángulos semejantes BPX y BEE_a, tenemos que:
.
Así que:

Con el par de triángulos semejantes CPX y CDD_a, tenemos que:

Así que:

Consideramos ahora el trapecio DEE_aD_a y notamos su área como [DEE_aD_a] .

Tenemos que: [DEE_aD_a]= [DII_aD_a]+ [IEE_aI_a];

;

Si dividimos por I_aE_a y simplificamos llegamos a obtener las siguientes expresiones:

Como quiera que y , entonces:

(I)

Con estas razones podemos establecer las siguientes relaciones de interés:

RELACIONES QUE DETERMINAN PY y PZ EN FUNCIÓN DE m, n, p y r.

Veamos ahora las siguientes situaciones que nos propician las expresiones de PY y PZ.

Si trazamos las perpendiculares desde el punto D y E hasta los lado AC y BC respectivamente, obtenemos los puntos D_b y E_c.

	Sea el siguiente par de triángulos semejantes CDDb e CPY. Tenemos ahora que:
	Sea el siguiente par de triángulos semejantes BEEc y BPZ. Tenemos ahora que:

	Si ahora trazamos la perpendicular desde el punto D hasta el lado AC obtenemos el punto Db y el siguiente par de triángulos semejantes DEDb e IEIb. Tenemos ahora que:
	Si trazamos la perpendicular desde el punto E hasta el lado AB obtenemos el punto Ec y el siguiente par de triángulos semejantes DEEc y DIIc. Tenemos ahora que:
De estas cuatro últimas igualdades: obtenemos que: DDb = p∙EEc ; Por lo tanto, la suma requerida será: (II)

De ambas expresiones (I) y (II), concluimos que: