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Una línea recta que pasa por el incentro de un triángulo ABC corta a los lados AB y AC en los puntos D y E respectivamente. Sea P el punto de intersección de BE y CD. Si X, Y y Z son los respectivos pies de las perpendiculares desde P a BC, CA y AB, demuestre que: 1/PX = 1/PY + 1/PZ. |
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Oposiciones Secundaria (2005) Baleares. Propuesto por el profesor José Manuel Arranz |
Solución de Francisco Javier García Capitán
Copio, corrigiendo alguna errata, la solución a este problema enviada al foro es.ciencias.matematicas el 5 de septiembre de 2005:
Fijado un triángulo de referencia ABC, las coordenadas baricéntricas de un punto P son tres números x, y, z proporcionales a las áreas de los triángulos PBC, PCA y PAB. Por eso se representan en la forma x:y:z.
El incentro I tiene coordenadas baricéntricas homogéneas a:b:c (siendo como es habitual a=BC, b=CA y c=AB).
Cualquier recta tiene ecuaciones baricéntricas px + qy + rz = 0. Si la recta pasa por el incentro, sus coeficientes cumplirán pa + qb + rc = 0.
La intersección de px + qy + rz = 0 con AB (z=0) es el punto D=(-q:p:0).
La intersección de px + qy + rz = 0 con AC (y=0) es el punto E=(-r:0:p).
La recta que une B=(0:1:0) con E es px + rz = 0.
La recta que une C=(0:0:1) con D es px + qy = 0.
El punto de intersección
de las dos últimas rectas es (resolviendo el sistema):
P= (-qr:pr:pq).
Entonces, usando que PX, PY, PZ son las alturas de los triángulos PBC, PCA, PAB,
(a.PX:b.PY:c.PZ)=(PBC:PCA:PAB)=(-qr:pr:pq) y
1/PY + 1/PZ - 1/PX = b/pr + c/pq + a /qr = (pa + qb + rc)/pqr = 0.