Problema 276

25. O és un punt sobre la circumferència circumscrita al triangle. Demostreu que si les perpendiculars des de O als costats AB, AC i BC tallen la circumferència en els punts c, b i a, el triangle  és igual en tots els aspectes al triangle  [Nota del director: tenen els mateixos costats i angles, encara que l’ordre és diferent]

a) Estudieu quines transformacions hem de sotmetre  per a transformar-se en el triangle  de manera que es solapen exactament [afegit pel director]

Aref, M.N., Wernick,W. (1968): Problems &Solutions in Euclidean Geometry. Dover Publications, Inc, New York. (pag. 97)

Solució:

Siga el triangle  inscrit en una circumferència. Siga O un punt de la circumferència. Podem suposar que o pertany a l’arc .

Siga la recta r que passa per O i és perpendicular a  que talla la circumferència en el punt c.

Siga la recta s que passa per O i és perpendicular al  que talla la circumferència en el punt a.

Siga la recta t que passa per O i és perpendicular al  que talla la circumferència en el punt c.

Siga P la intersecció de la recta r i la recta AB.

Siga Q la intersecció de la recta s i la recta BC.

Siga R la intersecció de la recta t i la recta AC.

Considerem el quadrilàter ROQC

,

Aleshores, . Aleshores, .

Aleshores, .

Considerem el quadrilàter AROP

,

Aleshores, . Aleshores, .

Aleshores, .

Aleshores, .

Per tant els triangles ,  són iguals ja que tenen iguals els angles i ambdós estan inscrits en la mateixa circumferència per tant les cordes mesuren igual.

a) Notem que els arcs ,  són iguals.

Aleshores, els triangles són simètrics respecte de la mediatriu del segment .

Aleshores donat el triangle :

1. Dibuixarem la recta r que passa per O i és perpendicular a  que talla la circumferència en el punt c.
2. Dibuixem la recta mediatriu m del segment .
3. Dibuixem el punt a simètric de A respecte de m.
4. Dibuixem el punt b simètric de B respecte de m.
5. Dibuixem el triangle.

Amb Cabri:

Figure sol276peicat.fig

Applet created on 16/10/05 by Ricard Peiró with CabriJava