Problema 276

Problema 276

Circunferencias y tangencia

25. O es un punto sobre la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. Demostrar que si las perpendiculares desde O a los lados AB, AC y BC cortan a la circunferencia en los puntos c, b y a, el triángulo abc es igual en todos los aspectos al ABC. [Nota del director: tienen los mismos lados y ángulos, aunque el orden es diferente]

a)Estudiar a qué transformaciones se somete ABC para transformarse en el abc, de manera que se solapen exactamente [añadido por el director].

Aref, M.N., Wernick,W. (1968): Problems &Solutions in Euclidean Geometry. Dover Publications, Inc, New York. (pag. 97)

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) (2 de octubre de 2005) (en español):


Sea el triángulo  inscrito en una circunferencia. Sea O un punto de la circunferencia. Podemos suponer que O pertenece al arco .

Sea la recta r que pasa por O y es perpendicular a  que corta la circunferencia en el punto c.

Sea la recta s que pasa por O y es perpendicular al  que corta la circunferencia en el punto a.

Sea la recta t que pasa por O y es perpendicular al  que corta la circunferencia en el punto c.

Sea P la intersección de la recta r y la recta AB.

Sea Q la intersección de la recta s y la recta BC.

Sea R la intersección de la recta t y la recta AC.

Consideremos el cuadrilátero ROQC

,

Entonces, . Entonces, .

Entonces, .

Consideremos el cuadrilátero AROP

,

Entonces, . Entonces, .

Entonces, .

Entonces, .

Por tanto los triángulos ,  son iguales ya que tienen iguales los ángulos y ambos están inscritos en la misma circunferencia por tanto las cuerdas miden igual.

a) Notemos que los arcos ,  son iguales.

Entonces, los triángulos son simétricos respecto de la mediatriz del segmento .

Entonces dado el triángulo :

  1. Dibujaremos la recta r que pasa por O y es perpendicular a  que corta la circunferencia en el punto c.
  2. Dibujemos la recta mediatriz m del segmento .
  3. Dibujemos el punto a simétrico de A respecto de m.
  4. Dibujemos el punto b simétrico de B respecto de m.
  5. Dibujemos el triángulo.

Con Cabri:


Figure barroso276.fig

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