Para el aula

Problema 278

Dado el triángulo ABC, construyamos su circunferencia circunscrita.

Tracemos la recta tangente AT a la circunferencia por el punto A.

Demostrar que <ABC = <CAT, o <ABC + <CAT=180.

Solución del director.

Sea O el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Construyamos el triángulo ORB con OR perpendicular a BC y OB radio que es perpendicular a BT.

El triángulo OBC es isósceles y al ser ángulo central, <BOC=2<BAC, por lo que <BOR=<BAC, al ser OR la mediatriz bisectriz y mediana en el isósceles.

Así, es <CBT=<OBT-<OBR=90-OBR=<ORB-<OBR=<BOR=<BAC, cqd

En el caso de que el vértice A estuviese en el mismo semiplano que T respecto a la recta BC.

Tomemos A* en la circunferencia sobre el otro semiplano.

Es: <BAC+<CBT=<BAC+<BA*C=180 por ser concíclicos, cqd

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Sevilla.