Para el aula

Problema 287

ABC es un triángulo equilátero. I, J y P son los puntos medios de sus lados. Se parte CB en cuatro partes iguales según los puntos E (medio de CP), P y F(medio de PB).

Sea H la proyección ortogonal de I sobre EJ y K la proyección ortogonal de F sobre EJ.

Sea R el simétrico de H en relación al punto I , S el simétrico de K en relación al punto J, U el simétrico de E en relación a I, y T el simétrico de F en relación a J.

Las rectas RU y TS se cortan en V.

UAT, ¿están alineados?

RVSH, ¿es un cuadrado?

Clapponi, P. (1997): Découpage dans un triangle. Petit X 34,pag 54. [Clapponi es un seudónimo de Philippe Clarou - Bernard Capponi].

Solución de Ricardo Barroso Campos. Didáctica de las Matemáticas. Universidad de Sevilla .

El triángulo AUI es simétrico del CEI luego ے IUA ے = ICE=60 Por el mismo motivo es ے FAT ے = JBF=60 Luego es: ے TAJ IAJ ے + IUA ے+ =180 Por lo que T, A y U Están alineados

Observemos el triángulo rectángulo EFJ. Sea 2a el lado de ABC.

Es FE=a. FJ =1/2 PA, es la mitad de la altura de ABC.

Es FE=a.

Es FJ =1/2 PA, es la mitad de la altura de ABC.

Luego es

El triángulo EJF y el IEH son rectángulos y semejantes, por lo que sus lados son proporcionales, de donde se tiene que:

, por lo que es

Luego es .

Además al ser el triángulo FKJ congruente con el IHE, es KJ=HE, por lo que

es: .

Así HS y HR son de distinta medida, y RVSH no es cuadrado, sino rectángulo.