ALGUNAS PROPIEDADES RELATIVAS A  LAS  RECTAS DE EULER DE TRES TRIÁNGULOS SIMÉTRICOS A UN TRIÁNGULO DADO

 

David Benítez Mojica

Universidad Autónoma de Coahuila

dbenitez@mail.uadec.mx

 

Nora Lucia Leija Mendoza

Universidad Autónoma de Coahuila

nleija11@hotmail.com

 

Resumen. En este artículo se demuestran tres propiedades que tienen las rectas de Euler de los triángulos simétricos a un triángulo dado. Se usó geometría dinámica para construir la conjetura y se usan propiedades de la geometría analítica para hacer la demostración.

 

Teorema. Dado un Triangulo ABC , se construyen los triángulos simétricos con respecto a cada un de los lados del triángulo ABC . Las rectas de Euler trazadas en cada uno de estos triángulo se intersectan en un punto P. Además, el punto P y los ortocentros de los triángulos simétricos pertenecen a la circunferencia circunscrita en el triángulo ABC.

 

 Figura 1                                 

            Figura 2

Demostración.

 

  1. Sin perdida de generalidad, se puede demostrar el teorema para un triángulo ABC, con un vértice en el origen de coordenadas y uno de los lados situados en el eje positivo “x”. Se construyen los triángulos simétricos en cada uno de los lados (figura 2), donde los puntos son:

 

 

,  ,

 

 

  1. Enseguida encontraremos los las coordenadas del ortocentro, baricentro y circuncentro de este triángulo..

 

Dado el triángulo  la forma en que se calculan cada uno de los puntos notables son las siguientes:

 

 

 

Para  el triángulo ABC, donde A = (0,0), B = (a, b), C = (c,0) , se obtienen:

 ,  ,

Fig. 3

 

 

 

Para el triángulo A’BC, tenemos:

 

 

 

 

 

 

Fig. 4.

 

 

 

 

 

Para el triángulo AB’C se tienen:

 

,     

 

Fig. 5.

 

 

 

 

Para el triángulo ABC’ se tienen:

 

 

 

 

 

 

Fig. 6.

 

 

 

 

  1. Utilizando cada uno de los puntos anteriores, se determinará la ecuación de la recta de Euler.

 

Dado los puntos notables de un triángulo, determinar la ecuación que pasa por estos puntos:

 

 

como estas pendientes son iguales porque los puntos viven en la misma recta, por lo tanto solamente utilizaremos una pendiente por lo que:

 

 

Tomando solamente el baricentro y ortocentro de los triángulos, se determinaran las rectas de Euler en cada uno de los triángulos.

 

La recta de Euler del triángulo ABC es :

 

Ecuación (1)

 

La recta de Euler para el triángulo A’BC es:

 

 

Ecuación (2)

 

La recta de Euler para el triángulo AB’C es:

 

 

 

Ecuación (3)

 

La recta de Euler para el triángulo ABC’ es:

 

 

Ecuación (4)

 

  1. Enseguida, demostraremos si las ecuaciones 2, 3 y 4 se intersectan en un  punto P.

Usando las ecuaciones 2 y 3 tenemos las coordenadas del punto P

 

 

 

 

 

 

 

Usando las ecuaciones 3 y 4 tenemos las coordenadas del punto P

 

 

 

 

 

 

Usando las ecuaciones 2 y 4 tenemos las coordenadas del punto P

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Por lo anterior podemos determinar que las tres rectas de Euler formadas son concurrentes en un punto. (P)

Fig.  7

 

 

 

Demostraremos ahora que el punto P correspondiente a la intersección de las rectas de Euler es un punto de la circunferencia circunscrita al triangulo ABC.

 

Fig. 8.

 

Siendo h y k las coordenadas del circuncentro del triangulo ABC  y r  la distancia del circuncentro al punto A de este triangulo, se obtiene la circunferencia:

 

 

 

 

 

 

Sustituyendo las coordenadas ( x , y ) del punto P dentro de la ecuación anterior y resolviendo para x e y se obtiene:

 

 

 

 

Por lo que queda demostrado que el Punto P, pertenece a  la circunferencia circunscrita al triángulo ABC

 

5.  Como siguiente paso, demostraremos, que el  punto P, cada uno de los ortocentros de los triángulos simétricos, pertenecen a la misma circunferencia.

 

Primero para el triángulo A’BC, el ortocentro es:

 

 

Sustituyendo en:

 

 

 

 

Se obtiene:

 

 

 

 

 

 

 

Por lo que este punto pertenece a la circunferencia.

Para el triángulo AB’C, el ortocentro es:

 

 

Sustituyendo en:

 

 

 

 

Se obtiene:

 

 

 

 

 

 

 

 

Por lo que este punto pertenece a la circunferencia.

 

 

Para el triángulo ABC’, el ortocentro es:

 

 

Sustituyendo en:

 

 

 

 

Se obtiene:

 

 

 

 

 

 

 

Por lo que los ortocentros pertenecen a  la circunferencia circunscrita al Triángulo ABC.

 

Por lo tanto, dado el Triángulo ABC, se construyen los triángulos simétricos en cada un de los lados (figura 2), las rectas de Euler trazadas en cada uno de estos triángulo se intersectan en un punto P (figura 6). Además, los ortocentros de los triángulos simétricos viven en la circunferencia circunscrita en el triángulo ABC.