Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez
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Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez |
Solución de Francisco Javier García Capitán
Usaremos el teorema de Ceva, que precisamente da una condición necesaria y suficiente para que tres cevianas de un triángulo sean concurrentes.
Necesitamos una expresión de cada uno de los cocientes 
,
y 
Para la altura tenemos, por definición de coseno, 
Para la mediana tenemos, por ser B' el punto medio, 
Para las bisectrices tenemos, por el teorema de la bisectriz, 
Entonces, según el teorema de Ceva, tendremos que la condición del problema es equivalente a
Usando el teorema de los senos y la relación anterior, podemos obtener finalmente que
Todos los pasos dados en el proceso son reversibles, por lo que la cuestión planteada por el problema queda resuelta.
Podemos plantearnos, ¿como son los triángulos que cumplen esta condición? Escribámosla en la forma
Sustituyamos la en cada caso usando el teorema del coseno y preguntemos a Mathematica como queda la cosa:
Como era de esperar,
las fórmula no tiene sentido cuando el triángulo es rectángulo
en B o C: el denominador se anula. Veamos para que triángulos
se cumple el enunciado. Para ello, como ya hemos hecho en otras ocasiones, fijamos
el lado BC del triángulo y dejamos variable el vértice
A. Hallemos los vértices A correspondientes a los triángulos
que anulan el primero de los dos paréntesis del numerador. El lector
podrá comprobar que procediendo de forma parecida con los del segundo
paréntesis no se obtienen soluciones.
No resulta complicado obtener una expresión explícita de y en función de x:
Ahora representamos y como función de x:
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El siguiente applet muestra los triángulos cumpliendo la propiedad: