Problema 293 de triánguloscabri

Trazamos dos circulos (O1,r1) y (O2,r2) tangentes externamente entre si, y a su vez tangentes a BC y al circuncirculo (O) del triángulo ABC externamente, de tal forma que la tangente común interna de (O1) y (O2) pase por A. Además (O1) y (O2) se encuentran del lado opuesto a A con respeto a BC.

De manera similar trazamos los circulos (O3, r3) y (O4,r4) tangentes a AC y (O) con su tangente común interna que pase por B y los circulos (O5,r5) y (O6,r6) tangentes a AB y (O) con su tangente común interna que pase por C.

Demostrar que: 1/r1+1/r2+1/r3+1/r4+1/r5+1/r6 = 2/r, Donde r = inradio de ABC.

Propuesto por Juan Carlos Salazar.

Solución parcial de Francisco Javier García Capitán

Trazado preliminar de la figura con Cabri

El enunciado planteado por nuestro amigo Juan Carlos es de cierta complejidad, por lo que vamos a aproximarnos a la solución trazando primero la figura con Cabri.

Como las hipótesis sobre tangencias son abundantes, liberémonos para empezar de alguna de ellas. Consideremos un punto cualquiera T1 sobre la recta BC (concretamente a la izquierda de B, como en la figura), y supongamos que ése es el punto de tangencia con la circunferencia (O1) (esto no será así, puesto que hemos elegido a T1 de forma arbitraria, pero servirá para comenzar).

A partir de T1, podemos obtener el centro O1 de la circunferencia tangente a BC en T1 y tangente a la circunferencia circunscrita. Para ello,

  1. Trazamos un diámetro perpendicular a BC y consideramos el extremo Q que no está en el mismo lado de BC que A.
  2. Unimos Q con T1, cortando a la circunferencia circunscrita en Z.
  3. Hallamos O1 como intersección de la perpendicular por T1 a BC y la mediatriz del segmento ZT1.

Ahora, la recta tangente desde A a la circunferencia (O1) deberá ser la tangente común a (O1) y (O2), y el mismo punto W servirá para las dos rectas. Llamemos D al punto de intersección de la recta tangente con BC. El centro O2 deberá estar en la intersección de la recta O1W y la bisectriz del ángulo WDC.

Moviendo T1 sobre la recta BC hasta conseguir que la circunferencia (O2) sea tangente a la circunferencia circunscrita, observaremos que ello parece siempre ocurrir cuando

Conjetura 1
La recta AD es la bisectriz interior del ángulo A

Recordemos que ello equivale a que AD pase por Q.

Trazado de la figura con Cabri

Vamos a aprovechar la propiedad que hemos descubierto para trazar con exactitud la figura del enunciado del problema. Comenzamos en este caso por trazar la bisectriz interior AD del ángulo A, y ahora trazaremos una circunferencia que sea tangente a BC, AD y la circunferencia circunscrita.

Para ello, supongamos que la circunferencia circunscrita tiene centro O y radio R. Siguiendo a José María Pedret en una construcción similar,

  1. Trazamos las rectas XK y XJ paralelas a AD y BC, respectivamente y a distancia R de ellas. Esta circunferencia será tangente a otra circunferencia con radio R y centro en D (punteada en la figura).
  2. Unimos XO, que corta en U a la circunferencia circunscrita.
  3. Trazamos una paralela por O a UD, que corta en O1 a la recta XD.
  4. Una perpendicular por O1 a BC da el punto de tangencia T1 en BC.

Para hallar la circunferencia (O2) procederíamos de la misma forma, aunque es más fácil trazar una perpendicular por O1 a AD, y hallar su intersección con la perpendicular a XD (XD y su perpendicular son bisectrices del ángulo ADC).

 

Estudio con Cabri

Una vez realizada la construcción con Cabri, podemos mover el vértice A, comprobando que se cumple perfectamente la propiedad que hemos visto antes (la recta AD es la bisectriz interior del ángulo A). Además también podemos observar que

Algo de Mathematica

Unos cálculos con Mathematica siguiendo la primera construcción

 

nos llevan a que

Conjetura 2
El punto de tangencia W es el excentro correspondiente al vértice A

 

Vuelta a Cabri

La localización del punto W es demoledora: ahora la construcción es extremadamente sencilla.

Más Mathematica

Usemos Mathematica de nuevo para descubrir alguna relación más.

En primer lugar, hallamos las coordenadas de los puntos de tangencia T1 y T2. Para ello, hallamos la intersección de la circunfernecia con centro D y radio DW con la recta BC.

Ahora hallamos las coordenadas de los centros (O1) y (O2), y los cuadrados de los radios r1 y r2.

Con esto podemos hallar el valor de la suma 1/r1+1/r2 :

El resultado lo expresamos así:

De forma parecida tendremos las igualdades:

Sumando las tres fórmulas, obtenemos el resultado propuesto.

En la última parte hemos usado dos de las fórmulas conocidas del área S del triángulo ABC.