De Investigación (EXTRA). Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid.

Problema 300

Dado el triángulo ABC, y las cevianas arbitrarias AA´, BB´y CC´, desde los vértices A, B y C, a los lados BC, AC y AB, respectivamente.

Sobre la ceviana AA´,(lo mismo para las demás), hacemos la siguiente construcción :

Desde A´, llevamos a su derecha e izquierda, la misma cantidad fija-pueden ser distintas, para B´, y C´-,para obtener sobre el lado BC, los puntos A'(B) y A'(C).

Por A, trazamos la paralela a BC, y por A'(B) y A'(C) la paralela, a AA', respectivamente. De esta forma obtenemos el paralelogramo A'(C)A'(B)A*(B)A*(C), y los similares, para BB´y CC´, respectivamente.

Definimos los siguientes puntos por los pares de rectas que contienen a los dos segmentos que se indican:

X(A) = BA*(C) intersección con AC,

Y(A) = C A*(B) intersección AB,

y, lo mismo X(B), Y(B), X(C), Y(C), para los otros dos vértices.

Por último construimos las dos ternas de puntos

Q (A) = BA*(C) intersección CA*(B), P(B), y R(C), de forma análoga.

Y, a terna de puntos,

U = X(A)Y(A) intersección con X(B)Y(B),

V = X(A)Y (A) intersección con X(C)Y(C),

W = X(B)Y(B) intersección con X(C)Y(C).

Se pide:

a) Demostrar que los puntos Q(A), P(B) y R(C), están en las medianas correspondientes a los vértices, A´, B´y C´.

b) Hallar los lugares geométricos de los puntos Q(A), P(B) y R(C) cuando A', B', y C' recorren los lados BC, AC y AB.

C) Demostrar que el triángulo UVW es homotético al triángulo ABC. Calcular el centro y la razón de la homotecia.

Romero, J.B. (2005): Comunicación personal

Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (1 de marzo de 2006)

DIBUJO DEL ENUNCIADO

figura 1

Toda construcción relacionada con el punto A se ha realizado en verde.

Toda construcción relacionada con el punto B se ha realizado en azul.

Toda construcción relacionada con el punto C se ha realizado en naranja.

Las cantidades fijas aplicadas a cada lado son variables y en general distintas y vienen dadas por los segmentos (ver figura 1)

en A'

en B'

en C'

APARTADO (a)

LA CONSTRUCCIÓN DE Q(A)

figura 2

Fijémonos en que acabamos de construir dos haces de rectas homográficos por medio de la siguiente homografía

Que h es una homografía es fácil de ver, basta darnos cuenta que el trazar paralelas de A'(B) a A*(B) y de A'(C) a A*(C) define una proyección de la recta BC sobre su paralela por A. Es claro que el centro de esa proyección es el punto de infinito de AA'. Entonces como A'(C) y A'(B) son simétricos respecto a A' (por definición), A*(C) y A*(B) lo son respecto A y por lo tanto A*(B) y A*(C) son también homográficos y siendo B y C puntos fijos, las rectas que unen B con A*(C) y C con A*(B) son homográficas.

Por el teorema de CHASLES-STEINER, el lugar geométrico de la intersección de rectas homólogas en dos haces homográficos es, en general, una cónica. Pero en este caso la cónica es degenerada y se reduce a una recta.

Para que las rectas homólogas de una homografía de haces se corten en una recta, la homografía debe ser una proyección de haces.

Recordemos el siguiente teorema para puntos homólogos en una homografía entre dos rectas:

Si, en una homografía de dos rectas, su punto de intersección es homólogo de sí mismo, la homografía es una proyección de una recta sobre la otra. Por tanto, las rectas que unen puntos homólogos concurren en un punto (Centro de proyección).

El dual de este teorema será:

Si, en una homografía de dos haces, la recta común (que une los centros de los haces) es homóloga de sí misma, la homografía es una proyección de haces. Por tanto, los puntos de intersección de las rectas homólogas están sobre una misma recta (Recta de proyección).

LA HOMOGRAFÍA DEFINIDA TIENE LA RECTA COMÚN BC HOMÓLOGA DE SÍ MISMA.

figura 3

A medida que x tiende a infinito Q(A) se acerca a BC hasta que

Por lo que BC es homóloga de sí misma que es lo que queríamos demostrar; y entonces ya sabemos que:

El lugar geométrico de Q(A) es una recta.

¿Qué recta es?

LA RECTA LUGAR DE Q(A) PASA POR A

figura 4

Para ver que la la recta que la recta pasa por A, basta ver que

LA RECTA LUGAR DE Q(A) ES LA MEDIANA POR A

figura 5

Consideremos ahora, el triángulo de vértices A"BC.

Y un punto A sobre la mediana por A".

Trazamos la recta r paralela a BC por A y obtenemos

Acabamos de definir la siguiente homografía

Que es una homografía está claro ya que las rectas que unen los puntos con sus homólogos son paralelas lo que hace que por el teorema de TALES que los segmentos determinados en cada recta sean proporcionales y por lo tanto las razones dobles iguales.

Por lo tanto si definimos

Es la misma homografía h entre haces que hemos definido en la CONSTRUCCIÓN DE Q(A) . Allí probamos que el lugar de Q(A) es una recta por A. Del mismo modo, en este triángulo, la recta pasa por A". Por lo tanto el lugar de Q(A) es la recta AA"; pero A está sobre la mediana por A" , entonces AA" pasa por el punto medio de BC por lo que podemos concluir

El lugar de Q(A) es la mediana por A y análogamente

El lugar de P(B) es la mediana por B

El lugar de R(C) es la mediana por C

APARTADO (b)

Hemos probado en (a) que el lugar geométrico de Q(A) al variar x (la cantidad fija a derecha e izquierda de A') es la mediana por A. Es decir Q(A) depende de la cantidad fija; pero no de la ceviana. Entonces si variamos A' sobre BC sin variar x, Q(A) permanece inmóvil sobre la mediana y por tanto

El lugar de Q(A) al variar sólo A' sobre BC es un punto fijo y análogamente

El lugar de P(B) al variar sólo B' sobre CA es un punto fijo

El lugar de R(C) al variar sólo C' sobre AB es un punto fijo

APARTADO (c)

LOS TRIÁNGULOS ABC Y UVW SON HOMÓLOGOS

figura 6

Tomemos el triángulo ABC y su mediana por A que corta a BC en M(A). Si tomamos Q(A) sobre la mediana tenemos:

Por las propiedades del cuadrilátero completo BCX(A)Y(A) se cumplirá que

Pero

Peo M(A) es el punto medio de BC

Entrando en la razón doble queda

y de aquí

es decir, el conjugado armónico de M(A) es el punto de infinito de BC y recuperando el cuadrilátero anterior

Por lo que X(A)Y(A) y BC se cortan en el punto de infinito de BC por lo que

X(A)Y(A) es paralela a BC ⇒ WU es paralela a BC y análogamente

X(B)Y(B) es paralela a CA ⇒ UV es paralela a CA

X(C)Y(C) es paralela a AB ⇒ VW es paralela a AB

y de aquí deducimos que

Los triángulos ABC y UVW son homotéticos por tener todos sus lados paralelos.

ELECCIÓN DE UN SISTEMA DE COORDENADAS

figura 7

Sea CB el eje de abscisas y CA el eje oblicuo de ordenadas. En estos ejes

DETERMINACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAS RECTAS WU, UV y VW

Hemos establecido en (a) y (b) que las posiciones de Q(A), P(B), R(C) no dependen de las cevianas, sólo dependen de las cantidades a añadir a A', B' y C'.

Por ello vamos a elegir un sistema conveniente de cevianas, las medianas del triángulo ABC.

Estudiaremos como Q(A) se desplaza por la mediana AM(A) en función de la cantidad a añadir a A' (ver figura 8). Pero en lugar de trabajar con x, trabajaremos con (x/a)

figura 8

A partir de la cantidad x= M(A)A'(B) a añadir a M(A), definimos

figura 9

figura 10

figura 11

podemos pues deducir que

Análogamente como UV es paralela al eje oblicuo de ordenadas

y si definimos

variando ν, VW se desplaza paralelamente a AB pero en este caso la ordenada en el origen es 0 para ν =0 y la ordenada en el origen es b para ν=∞ lo que nos dice que la ordenada en el origen para VW varía con una ley del mismo tipo que WU; pero en lugar de depender de λ, depende de 1/ν