Problema 306

Siga el triangle equilàter , pel punt R simètric de B respecte es traça una recta que talla les prolongacions de i en els punts P i Q respectivament.

Si S és el punt de tall de AQ i PC i T és el punt de tall de AC i PQ.

Demostreu que: i .

Salazar, J. C. (2006): Comunicació personal.

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València)

Siga el costat del triangle equilàter.

Siga ,

Els triangles , són semblants, aleshores:

.

Siga , . Vegem que .

Aplicant el teorema del sinus al triangle :

(1)

Aplicant el teorema dels sinus al triangle :

(2)

Multiplicant les expressions (1) (2)

Tenint en compte que i simplificant:

.

Aleshores, .

Aleshores,

Per tant el quadrilàter ABCS és inscriptible ja que els angles oposats sumen 180º.

Aplicant el teorema de Tolomeu:

Simplificant:

.