Para el aula

Problema 307

2.- Alrededor de un triángulo.

Sea ABC un triángulo.

1º) Construye el punto A' simétrico de A en relación a B; el punto B' simétrico de B en relación a C, y el punto C' simétrico de C en relación a A.

2º) Compara las áreas de los triángulos ABC y A'B'C'

Clapponi, P. (1995): Activité. autour d'un triangle. Petit X 40, pag. 86. [Clapponi es un seudónimo de Philippe Clarou - Bernard Capponi].

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León de Salamanca.-

Uniendo los vértices de estos triángulos se obtienen 6 los triángulos que figuran numerados, además del inicial, (marcado con (0)). Todos estos triángulos son equivalentes (=tienen igual área) al triángulo ABC.

El triángulo (1) es equivalente a (0) por tener igual base (a=BC) e igual altura.

El (2) es equivalente a (0) por tener igual base (b=AC) e igual altura.

El (3) es equivalente a (1) por tener igual base (b=AC) e igual altura.

El (4) comparte con el (0) la base c=AB y la altura desde C.

El (5) y el (4) tienen como base el lado a=BC y la misma altura desde A’.

Por último el triángulo (0)+(4), o sea, el AA’C y el triángulo (2)+(6) = AA’C’ tienen igual área pues A equidista de C y de C’,y tienen la misma altura desde A’. De las equivalencias anteriores se concluye que también (6) es equivalente a (0).

De resultas de todo lo anterior concluimos que el triángulo A’B’C’ tiene un área igual a 7 veces la del triángulo ABC.