Problema 311.

a) Reflejemos el incentro I sobre cada uno de los lados de un triángulo isósceles,llamando A' (opuesto de A), etc..

Dibujemos las líneas AA', BB', CC'.

Mostrar que:

1.- Estas tres líneas son concurrentes (en un punto J)

2.- El segmento IJ es paralelo a la recta de Euler.

b)Reflejemos el incentro I sobre cada uno de los lados de un triángulo equilátero, llamando A' (opuesto de A), etc..

Dibujemos las líneas AA', BB', CC'.

Mostrar que:

1.- Estas tres líneas son concurrentes (en un punto J)

2.- El segmento IJ es paralelo a la recta de Euler.

Gray, S. (2.001): Math Forum.

El problema 39 de este Laboratorio

Solución del director.

a) Reflejemos el incentro I sobre cada uno de los lados de un triángulo isósceles,llamando A' (opuesto de A), etc..

Dibujemos las líneas AA', BB', CC'.

Mostrar que:

1.- Estas tres líneas son concurrentes (en un punto J)

2.- El segmento IJ es paralelo a la recta de Euler.

1.-

Sea J el punto de corte de los segmentosBB' y CC'.

Por la simetría de la figura, JBC' y JCB' son triángulos congruentes, luego BJ=JB'=CJ=JC'.

Luego J está en la mediatriz de BC, y por tanto en AA', cqd.

2.- No solo es paralelo IJ a la recta de Euler, sino que en este caso del isósceles coincide con ella, ya que es la mediatriz de BC.

 

b) Caso del equilátero.

I=J.

La recta de Euler degenera en un punto.

Ricardo Barroso Campos

Didáctica de las Matemáticas

Universidad de Sevilla.

 

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