Problema 317

Sean , las tres alturas del triángulo tales que .

La recta que pasa por los pies de las bisectrices interiores de los ángulos B y C pasa por el baricentro del triángulo.

Oposiciones Ibiza 2002.

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València)

Sean , bisectrices interiores del triángulo.

.

Si , entonces, . Entonces, .

Sea M el punto medio del lado

Sea , , linealmente independientes.

.

Aplicando la propiedad del baricentro:

.

Sea , . Aplicando la propiedad de la bisectriz:

, . Entonces, .

Análogamente, .

.

.

Veamos que son linealmente dependientes.

.

Simplificando:

. Entonces, G pertenece a la recta que pasa por los puntos E, D.