Problema 323

Donat el triangle s’inscriu en ell un altre triangle i en el triangle anterior s’inscriu un altre triangle que té els costats paral·lels al triangle inicial . Determineu l’àrea del triangle en funció de les àrees dels triangles , .

Solución de Ricard Peiró i Estruch Profesor de Matemáticas del IES 1 de Xest (València) (en valenciano) :

Siguen les àrees dels triangles , respectivament.

Els triangles , són homotètics ja que els costats són paral·lels.

Siga O el centre d’homotècia.

La raó de semblança dels triangles és l’arrel quadrada de la proporció de les àrees:

Siga l’altura del triangle . Siga l’altura del triangle

Els triangles , estan en posició de Tales i la raó de semblança és . Per tant, .

L’altura del triangle és

Siga les altures dels triangles , .

Anàlogament l’altura del triangle és , l’altura del triangle és .

Calculem l’àrea del triangle :

.

Aleshores l’àrea del triangle _{és mitjana geomètrica de les àrees dels triangles} ,