De investigación

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez:profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Problema 328

En un triángulo,  (Sen B + Sen C)/(Cos B+Cos C)  - Sen A=0 si y solo si A=90º. [Ampliación del proponente: ver qué tipo de triángulo es si se tienen las  posibles desigualdades]

Sánchez, A. (1944). Trigonometría Rectilinea y Esferica, Librería Internacional de Romo, S.A, Madrid, 1944, problema 13, p.413.

Solución de Maite Peña Alcaraz, estudiante de Industriales en la Universidad de Comillas (Madrid)

Podemos escribir A como , de tal modo que la expresión quedase:

dónde .

En ese caso, utilizando las fórmulas de los senos y cosenos de la suma, y que el coseno del ángulo complementario es el seno y viceversa, se obtiene sin dificultad que

Es fácil ver que si es igual a 0, caso en que el ángulo A es recto, entonces la expresión anterior es exactamente igual a 0.

En caso en que sea mayor que 0, ha de ser estrictamente menor de 45º ya que si no A sería negativo, algo imposible para un ángulo de un triángulo, y por tanto lo que implica que en la expresión ,

el primer miembro es positivo y mayor que 1, ya que el numerador es mayor que el denominador, mientras que el segundo miembro es negativo y mayor que -1, de donde se concluye que si es positivo, esto es, si A es menor que 90º, entonces la ecuación anterior es estrictamente mayor que 0.

Por último, si es negativo, ha de ser mayor que -45º también para que A sea el ángulo de un triángulo (si no A sería mayor o igual que 180º), y en este caso, . Entonces podemos multiplicar toda la ecuación por sin que el signo se vea afectado, de dónde obtenemos:

y si dividimos ahora por que tampoco afecta al signo de la ecuación obtenemos:os senos y cosenos de la suma, y que el coseno del ón obtenemos:afecta al signo de la ecuaciiun caso degenerado). iue si inador, mientras que el se

y por ser la suma de los dos últimos términos es negativa y menor que -1 (es menor que la suma del coseno al cuadrado más el seno al cuadrado cambiado de signo)l que 180º)ue 0. , por lo que la suma total es negativa y la suma inicial será menor que 0. (Se alcanza la igualdad si =-45º, esto es, si A=180º, B=C=0º, pero es un caso degenerado)