Problema 337 de triánguloscabri

Sean

ABC un triángulo obtusángulo en A,
r el radio del cícrculo inscrito,
R, radio del círculo circunscrito al triángulo,
a, su lado mayor, y
p el semiperimetro.

Probar que: ¿Cuándo se alcanza la igualdad?

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez

Solución de Francisco Javier García Capitán

Comenzamos un resultado elemental de Cálculo Diferencial que enunciamos en la forma simple en que lo vamos a utilizar, aunque puede generalizarse en muchas direcciones.

Lema 1. Si es una función diferenciable y T es un triángulo (incluido su perímetro). Si las derivadas parciales y no se anulan simultáneamente en el interior de T, los extremos absolutos (máximo y mínimo absolutos) de f sobre T, que existen por ser T un conjunto compacto y f una función continua) estarán sobre la frontera de T.

Ahora vemos una una desigualdad trigonométrica muy elemental.

Lema 2. Dados 0 £ t £ p/2, se cumple la desigualdad

En efecto, como en el intervalo considerado tanto el seno como el coseno son no negativos, podemos usar la desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática, para obtener

La igualdad se cumple cuando el seno y coseno son iguales, es decir para t = p/4.

Continuamos con otra desigualdad trigonométrica, a la que reduciremos luego la primera desigualdad de nuestro problema.

Lema 3. Dados dos números a y b tales que 0 £ a £ b £ p/2, se cumple la desigualdad

Demostración. Consideramos la función de dos variables Los posibles extremos de la función f en un abierto de R² deben anular las derivadas parciales de f respecto a y b. Teniendo en cuenta que

es evidente que f no tiene extremos en el conjunto abierto abierto 0 < a < b < p/2, coloreado en amarillo en la figura y correspondiente a los casos en que ABC es obtusángulo.

Entonces, los extremos de la función f en el conjunto cerrado 0 £ a £ b £ p/2 estarán en la frontera, y evaluando la función f en dichos puntos obtenemos, teniendo en cuenta el Lema 2,

por lo que, aplicando el Lema 1, queda demostrada la primera desigualdad propuesta, cumpliéndose la igualdad para a = p/4 y b = p/2.

Comenzamos ya a resolver el problema.

Si el triángulo ABC es obtusángulo en A, supondremos, sin pérdida de generalidad, que la circunferencia circunscrita al triángulo ABC tiene radio unidad, y que los vértices están dispuestos como en la figura, es decir, existen números reales a y b tales que 0 < 2a < 2b < p y

A=(cos 2a, sen 2a), B=(cos 2b, sen 2b), C = (1, 0).

Entonces podemos calcular

De la misma forma podemos calcular

Ahora, usando las fórmulas del área del triángulo expresamos

Puede comprobarse, por multiplicación, que esta expresión de r es equivalente a

y, usando el Lema 3, obtenemos que Según lo visto, la igualdad se cumplirá cuando a = p/4 y b = p/2, que corresponde al caso límite en el que el triángulo ABC es rectángulo en A e isósceles.

Ahora la segunda desigualdad.

En primer lugar observamos que

Consideramos la función Como antes, es fácil comprobar que las derivadas parciales de esta función no se anulan simultanéamente en el conjunto abierto 0 < a < b < p/2. Entonces los extremos de g sobre el conjunto cerrado 0 £ a £ b £ p/2 estarán en la frontera. Evaluando la función g en estos puntos obtenemos

cumpliéndose, según el Lema 1, por tanto que la segunda desigualdad del enunciado siempre es cierta cuando el triángulo es obtusángulo, y que la igualdad se da, como antes, en el caso límite en el que el triángulo ABC es rectángulo en A, descartando el caso trivial a = b = 0 en el que no hay triángulo.