De investigación

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid.

Problema 340.- Si p, r, y R son el semiperímetro, el radio del círculo inscrito, y el radio del círculo circunscrito, a un triángulo, respectivamente, probar que si t ≥ 1:

1)

alcanzándose la igualdad en los dos desigualdades si y sólo si, el triángulo es equilátero.

2) Deducir de lo anterior, que:

3) Interpretar 2) en términos geométricos utilizando para ello, las distancias entre dos puntos notables de un triángulo.

Romero, J. B. (2006): Comunicación personal.

Solución de los apartados 1) y 2).-

Consideremos la función f(t) == .

Si probamos que

(1)

tendremos que f(t) es una función decreciente en todo su dominio. En particular, para t=1 se tiene f(1)= . Si la función se considera definida en [1, +∞) al ser decreciente, el valor en el punto 1 es el máximo, siendo cualquier valor de la misma no inferior a . En consecuencia tendremos probada la segunda desigualdad.

Si en la desigualdad (1) utilizamos la fórmula de las cinco erres: 4R + r = r_a + r_b + r_c nos queda

(2)

Desarrollando el cuadrado

pues la suma de los cuadrados es siempre superior a las sumas dobles de las erres, gracias a la desigualdad de Schwarz, como explica el profesor García Capitán en el problema nº 336. (Para vectores u y v se verifica , en particular para los vectores y ).

Por otra parte, , y , de donde =

== p²

Y con esto queda probada la desigualdad (2).

Las desigualdades del problema pueden ponerse ahora como .

Para probar la primera desigualdad elevando a la sexta potencia para suprimir las raíces y simplificando tenemos

p² ≥27 r² (4)

De la expresión del área del triángulo p·r= despejamos r² y (4) resulta equivalente a

p² ≥ 27

o bien (5)

Esta última desigualdad es evidente. Expresa que la media geométrica de los segmentos de longitudes (p – a), (p – b) y (p – c) no supera a su media aritmética p/3. Y con esto concluimos.