De investigación. Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Problema 344

Caracterizar y construir el triángulo ABC, que es rectángulo en A, de hipotenusa a=BC, y de catetos b=AC, y c=AB, de tal forma que, BD=DE=EC, donde D es un punto tomado sobre AC, E es un punto tomado sobre BC, tal que el ángulo ABD=ACB, y el ángulo BDE es rectángulo en D.

Calculad también, los radios de los círculos inscrito y circunscrito a cada uno de los triángulos ABD, BDE, DEC.

Romero, J. B. (2006): Comunicación personal.

Solución de José María Pedret, Ingeniero Naval. Esplugues de Llobregat (Barcelona). (21 de octubre de 2006)

SOLUCIÓN

Antes de empezar, prescindiremos de una de las condiciones del enunciado; porque o hay una condición de más (lo que haría insoluble el problema) o una de las condiciones es redundante (así ocurre como se ve más adelante). La condición de la que vamos a prescindir es la igualdad de ángulos

Plantearemos la solución por medio de lugares geométrico tanto gráfica como analíticamente.

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Si el triángulo BAC es rectángulo en A, la hipotenusa BC=a es el diámetro de un círculo sobre el que se halla el vértice A.

Este es el círculo Γ₁ cuyo centro tomamos como origen y a BC como eje de abscisas. La perpendicular a BC por el origen será el eje de ordenadas.

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Imponemos ahora la condición BD=DE=EC. Para ello tomamos un punto cualquiera E sobre BC de abscisa t..

BD=EC significa que el punto D debería estar sobre el círculo de centro B y radio EC, es el círculo Γ₂.

DE=EC significa que el punto D debería estar sobre el círculo de centro E y radio EC, es el círculo Γ₃.

Como E es cualquiera, la intersección de Γ₂ y Γ₃ nos da un punto D_1.

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Trazamos el lugar geométrico del punto D₁ sobre el que estará D. Tiene las ecuaciones de la cónica

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Imponemos ahora la condición de que el ángulo ∡BDE sea recto en D. Eso nos indica que D debe estar sobre el círculo Γ₄ de diámetro BE que al ser E cualquiera, corta a Γ₃ en un punto D₂

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Trazamos el lugar geométrico del punto D₂ sobre el que estará D. Tiene las ecuaciones de la cúbica

Se podría simplificar la y pero no es necesario.

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Como D debe hallarse en los lugares de D₁ y D₂, será la intersección de los dos lugares. Igualando las abscisas

Entrando con t_D, por ejemplo, en D₁

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Sobre la recta CD

está el vértice A que queda determinado en la intersección con Γ₁

que nos dice que A está en la bisectriz del primer cuadrante y confirma la igualdad de los ángulos ABD=ACB con lo que la condición es redundante como hemos dicho al inicio: