De investigación

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid.

Problema 344.- Caracterizar y construir el triángulo ABC, que es rectángulo en A,  de hipotenusa a=BC, y de catetos b=AC y c=AB, de tal forma que,  BD=DE=EC, donde D es un punto tomado sobre AC, E es un punto tomado sobre BC, tal que el ángulo ABD=ACB, y el ángulo BDE es rectángulo en D.

Calculad también, los radios de los círculos inscrito y circunscrito a cada uno de los triángulos ABD, BDE, DEC.

Romero, J.B (2006): Comunicación personal.

Solución parcial de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca.-

Según las condiciones exigidas, el triángulo rectángulo BDE es isósceles, lo que nos lleva a que los ángulos iguales del triángulo isósceles DEC tengan amplitud 22º 30’. Con ello el ángulo ACB = 22º 30’=ABD, resultando la configuración reflejada en la figura: ABC es un triángulo rectángulo donde los ángulos agudos son uno tres veces mayor que el otro, y se dibuja muy fácilmente, pues el menor mide 22º30’, la cuarta parte de un recto. Para construir el punto D basta con observar que los triángulos rectángulos ABC y ADB son semejantes.

La relación de semejanza sirve para calcular AD a partir de AB y AC, como muestra la figura de abajo y con ello fijar la posición del otro punto E.