Problema 350.- (Propuesto por Francisco Alcubilla, profesor de estrategia territorial. Madrid).

Hallar un punto P interior a un triángulo ABC tal que sea mínimo con los datos dados de m, n, p que están relacionados por .

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. El Sur, Huelva)

Distinguiremos dos casos (a) m, n, p son tales que existe el triángulo cuyas longitudes de sus lados son estos valores (b) no existe triángulo que se pueda construir con estas tres magnitudes como longitudes de sus lados.

(a) En este caso comenzaremos suponiendo que m, n, p son las longitudes de los lados de un triángulo, cuyos vértices respectivamente opuestos, representaremos por M, N, P. A partir del triángulo ABC del enunciado construimos externamente sobre sus lados tres triángulos,, semejantes al triángulo MNP anterior, de forma que tengamos , , , , y . Demostraremos algunas propiedades esenciales de esta configuración:

1.- Las circunferencias que circunscriben a los tres triángulos , y se intersecan en un punto que denominaremos T, es decir:

2.- Las rectas , y son concurrentes en el mismo punto T, es decir,

3.- Se tiene además la igualdad:

4.- Para todo punto Q en el plano del triángulo original ABC, se tiene que

Demostraremos cada una de estas propiedades:

1.- Supongamos que las circunferencias que circunscriben los triángulos y se cortan en los puntos A y T, es decir, . Como es un cuadrilátero cíclico, entonces . Como es también cuadrilátero cíclico, tenemos . Entonces observamos claramente que

Por tanto, es un cuadrilátero cíclico y en consecuencia , lo que demuestra el apartado.

2.- Demostraremos que , con lo que el punto T anterior pertenecerá a la recta . Puesto que es un cuadrilátero cíclico tenemos que . Por otra parte, por el teorema del ángulo inscrito, , lo que demuestra la propiedad. De forma análoga se demuestra que el punto T pertenece a las rectas y .

3.- Puesto que por construcción los triángulos y MNP son semejantes podemos plantear las relaciones de semejanza

y

y como , en virtud del teorema del Ptolomeo para cuadriláteros cíclicos

Dividiendo por BC y multiplicando por m, tenemos la relación y entonces

De forma análoga se demuestra que: .

4.- Tomaremos un punto . Entonces por la desigualdad de Ptolomeo para cuadriláteros, tenemos que

y procediendo como en al apartado (3.-) anterior, tenemos la desigualdad siguiente

(b) En este caso supondremos que no existe triángulo que se pueda construir con las tres magnitudes m, n, p como longitudes de sus lados. Podemos también suponer, sin pérdida de generalidad que e intentar encontrar el punto Q en el plano del triángulo de partida ABC que minimiza la expresión . Para encontrar este punto basta con considerar la expresión siguiente

ya que . Entonces, el vértice A del triángulo es ahora el punto que en este caso minimiza la expresión .

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