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Sean T y T' dos triángulos rectángulos distintos, de hipotenusas a, a' y catetos b,c, b',c', respectivamente. Probar que aa'(bc'+b'c)= aab'c' + a'a'bc si y sólo si los triángulos T y T' son semejantes. |
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Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez.
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Solución de Francisco Javier García Capitán
La diferencia
puede factorizarse como
Si esta expresión se anula, uno de los factores debe ser cero. Por ejemplo, si el primer factor es cero, entonces (a, b) es proporcional a (a', b') y, usando el teorema de Pitágoras también tendremos (a, b, c) proporcional a (a', b', c').
Recíprocamente, es evidente que si (a, b, c) proporcional a (a', b', c') entonces cada uno de los factores es cero y también su producto.
