De investigación

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid.

Problema 352.- Sean T y T´dos triángulos rectángulos distintos, de hipotenusas a, a´, y, catetos b,c, b´,c´, respectivamente. Probar que aa´(bc´+b´c)= a²b´c´+ a´²b c si y sólo si los triangulos T y T´son semejantes.

Romero, JB. (2006): Comunicación personal.

Solución.-

Si los triángulos son semejantes se verifica trivialmente la condición. En general,

dividiendo por aa’ y tomando m=a’/a resulta:

bc’ + b’c = b’c’/m +bcm

o bien, suprimiendo los denominadores

(bc)m² — (bc’+b’c)m + b’c’ = 0

Las dos soluciones de esta ecuación con m como incógnita

m₁ = y m₂ = muestran que si se verifica la condición del problema los triángulos son semejantes.