Problema 353

En un triangle rectangle , , siga  una altura.

Els cercles de centres P, Q, I estan inscrits en els triangles , , , respectivament.

Demostreu que el segment  és igual al segment  i és perpendicular a ell.

Campo, S. (2005) Métodos sintéticos de la geometría. Edición de autor. Salamanca. (p.22)

Solució de Ricard Peiró:

Els triangles , ,  són rectangles i semblants.

En un triangle rectangle el radi de la circumferència inscrita és igual al semiperímetre menys la hipotenusa.

Siga  el radi de la circumferència inscrita al triangle .

Siga  el radi de la circumferència inscrita al triangle .

Siga  el radi de la circumferència inscrita al triangle .

.

.

.

Per ser K punt de tangència de la circumferència inscrita del triangle :

.

Per ser M punt de tangència de la circumferència inscrita del triangle  :

.

Siga R la projecció de P sobre el costat a. Siga S la projecció del Q sobre el costat b.

Siga U la intersecció dels segments , .

Provem que  i que .

Els triangles rectangles  tenen els catets iguals i els catets corresponents perpendiculars aleshores les hipotenuses són iguals i perpendiculars, és a dir,  i perpendiculars.

Prova amb Cabri:

Figura barroso353.fig

Applet created on 2/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava