De investigación

Problema 353.- En un triángulo rectángulo ABC, recto en C, sea CD una altura.

Los círculos de centros P, Q e I están inscritos en los triángulos ACD, BCD y ABC, respectivamente.

Demostrar que el segmento PQ es igual al segmento CI y es perpendicular a él.

Campo, S. (2005) Métodos sintéticos de la geometría. Edición de autor. Salamanca. (p.22)

Solución

En la figura podemos ver que los triángulos CDQ, APD y AIC son semejantes: tienen sus tres ángulos iguales. De la semejanza de los dos primeros se deduce que , que prueba que PDQ es un triángulo rectángulo en D (PD y DQ son bisectrices) semejante a los otros que se forman al trazar la altura sobre la hipotenusa (PQD =b = CBA; DPQ = a =BAC).

De la semejanza con ADC obtenemos

y de la semejanza de AIC con CQD, .

El producto de estas dos expresiones nos da PQ = CI.

Además, estos segmentos son perpendiculares.

Observemos el triángulo QSR. Un cálculo inmediato da que el ángulo S (DSB) mide 135 ─ b y como el ángulo Q=áng (PQD) mide b, necesariamente el ángulo R mide 45º, lo cual prueba la perpendicularidad.