De investigación

Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid

Problema 355.- Dados los lados a≥ b≥ c, del triángulo ABC, si R es radio de su círculo circunscrito, y d la distancia entre el incentro y circuncentro del triángulo, probar que:

0 ≤ d ≤

con la igualdad alcanzada en todos los miembros si y sólo si, el triángulo es equilátero.

Romero, J.B. (2006): Comunicación personal.

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca

Si partimos del teorema de Euler (problema 354) se tiene d² = R² – 2Rr; la desigualdad quedará probada si demostramos que 2Rr es mayor que bc/3.

El radio del círculo inscrito vale r=[ABC]/p donde [ABC] representa el área del triángulo. Para el circunscrito se tiene R = abc/(4[ABC]). De ellas se obtiene

2rR = abc/(2p)

Por hipótesis a es el lado mayor del triángulo, por tanto b +c ≤ 2a y entonces

2rR = abc/(2p) = ≥.

Si el triángulo es equilátero b + c = 2a y se consigue la igualdad y recíprocamente, si se da la igualdad a es la semisuma b y c. Si éstos no son iguales, el valor de a está comprendido entre ellos y ya no puede ser el de mayor longitud, en contra de la hipótesis.