Problema 356

Tracem els diàmetres comuns a les circumferències inscrita i circumscrita d’un triangle.

Siguen M i N els extrems d’aquests diàmetres i ,  els segments del mateix que estan compresos entres ambdues circumferències.

Demostreu que el radi de la circumferència inscrita és mitjana proporcional entre  i .

Solució Ricard Peiró:

Siga el triangle  i O I el circumcentre i l’incentre del triangle.

Els diàmetres comuns a les circumferències inscrita i circumscrita passen per O i I.

Siga  la distància entre l’incentre i el circumcentre del triangle .

Pel teorema d’Euler de la distància entre l’incentre i el circumcentre:

.

Aplicant la potència del punt I respecte de la circumferència circumscrita al triangle:

Aplicant el teorema d’Euler:

, és a dir el radi r de la circumferència inscrita és mitjana proporcional entre  i .

Amb Cabri:

Figura barroso356.fig

Applet created on 17/11/06 by Ricard Peiró with CabriJava