Problema 368

3.- ABC en un minuto

Dibuja dos círculos, uno pequeño y otro grande, tangentes exteriormente en el punto A. La tangente común a estos dos círculos toca al pequeño en B y al grande en C. Tienes un minuto para calcular el ángulo BAC. …

Tu turno:

Berrondo-Agrell, M. (2006) 101 enigmas de geometría, juegos divertidos para potenciar tu mente. Ediciones Ceac Barcelona.(p.11)

Solución de Ricard Peiró i Estruch.

 

Dibuixeu dos cercles, un de petit i altre de gran, tangents exteriorment en el punt A. La recta tangent comuna a aquests dos cercles toca el petit en B i el gran en C. Teniu un minut a fi de calcular l’angle

Siguen  els centres de les circumferències de radis  tangents exteriors en el punt A.

Siga la recta r que uneix els centres .

Per ser de radi distint, les circumferències són homotètiques. Siga P el centre d’homotècia i siga s la recta tangent a ambdues circumferències. La recta s passa pel centre d’homotècia P.

Siguen B i C els punts de tangència.

Siga .

El triangle  és rectangle .

Aleshores, .

El triangle  és isósceles, .

Aleshores, .

El triangle  és rectangle .

Aleshores, .

El triangle  és isòsceles, .

Aleshores, .

.

Calculem l’angle  en funció dels radis

Siga

Els triangles ,  són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

. Aïllant la incògnita x:

.

:

.

Aleshores, .

Amb Cabri:

Figurabarroso368n_b.fig

Applet created on 19/01/07 by Ricard Peiró with CabriJava

Notem que si els cercles són del mateix radi r els punts de tangència B i C estan en una recta paral·lela a la recta que uneix els centres dels cercles.

Aleshores els triangles  són rectangles i isòsceles, per tant,

.

Aleshores, .

Notem que per ser ,  .

Amb Cabri:

Figurabarroso368p_b.fig

Applet created on 19/01/07 by Ricard Peiró with CabriJava