Problema 377

Dibuixeu-me si us plau

Sóc un triangle rectangle. El meu perímetre és de 10cm. La meua altura des de l’angle recte mesura 2cm.

Berrondo-Agrell, M. (2006) 101 enigmas de geometría, juegos divertidos para potenciar tu mente. Ediciones Ceac Barcelona.(p.70)

Solució Ricard Peiró i Estruch:

Siga altura del triangle rectangle .

Siga perímetre del triangle .

Siga , .

Els triangles , són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

(1)

Els triangles , són semblants. Aplicant el teorema de Tales:

(2)

Sumant les expressions (1) (2):

.

Aleshores a és quarta proporcional de

Aïllant a:

Vegem quan el problema té solució en funció de p i h.

Aplicant el teorema de l’altura al triangle rectangle :

(3)

(4)

(5)

Substituint (5) en l’expressió (3)

.

Resolent l’equació en la incògnita n:

L’equació té solució si el discriminant de l’equació és positiu o zero.

Aleshores té solució si .

.

La solució de la inequació és:

.

Construcció del triangle rectangle coneguts el perímetre p i l’altura h sobre la hipotenusa:

a) Construir la quarta proporcional a dels segments .

b) Dibuixar el segment .

c) Dibuixar la recta paral·lela r al segment a una longitud h del segment.

d) Dibuixar la circumferència de diàmetre .

e) La circumferència talla la recta r en el punt A.

f) Dibuixar el triangle .

Construcció amb Cabri:

Figura barroso377.fig

Applet created on 2/03/07 by Ricard Peiró with CabriJava

La solució del problema inicial és:

.

, .

Aleshores:

, .