Problema 377

Dibújame por favor.

Soy un triángulo rectángulo. Mi perímetro es de 10 cm. Mi altura desde el ángulo recto mide 2 cm. ¡Dibújame, por favor!

Berrondo-Agrell, M. (2006) 101 enigmas de geometría, juegos divertidos para potenciar tu mente. Ediciones Ceac Barcelona.(p.70)

Solució Ricard Peiró i Estruch:

Siga altura del triángulo rectángulo .

Siga perímetro del triángulo .

Siga , .

Los triángulos , son semejantes. Aplicando el teorema de Tales:

(1)

Los triángulos , son semejantes. Aplicando el teorema de Tales:

(2)

Sumando las expresiones (1) (2):

.

Entonces a es cuarta proporcional de

Despejando a:

Veamos cuando el problema tiene solución en función de p y h.

Aplicando el teorema de la altura al triángulo rectángulo :

(3)

(4)

(5)

Substituyendo (5) en la expresión (3)

.

Resolviendo la ecuación en la incógnita n:

La ecuación tiene solución si el discriminante de la ecuación es positivo o cero.

Entonces tiene solución si .

.

La solución de la inecuación es:

.

Construcción del triángulo rectángulo conocidos el perímetro p y la altura h sobre la hipotenusa:

a) Construir la cuarta proporcional a de los segmentos .

b) Dibujar el segmento .

c) Dibujar la recta paralela r al segmento a una longitud h del segmento.

d) Dibujar la circunferencia de diámetro .

e) La circunferencia corta la recta r en el punto A.

f) Dibujar el triángulo .

Construcción con Cabri:

Figura barroso377.fig

Applet created on 2/03/07 by Ricard Peiró with CabriJava

La solución del problema inicial es:

.

, .

Entonces:

, .