Problema 385

Inscribir en un círculo dado, de centro O y radio r, un triángulo isósceles del que se conoce la suma s de la base y de la altura.

Discutir la existencia de soluciones según el valor de s respecto al radio r del círculo.

Propuesto por Jose María Pedret.

Solución de Mariano Nieto . Ingeniero de Minas, de Madrid.

Sea AN = s, con un extremo A sobre la circunferencia de radio r y pasando por su centro O

A partir de N construyamos el triángulo rectángulo en R, NRS, tal que NR = 2 RS. Prolonguemos el lado NS hasta que corte a la circunferencia en los puntos B y D, por los que trazaremos perpendiculares BC y DE a AN. Obtenemos así los triángulos

ABC y ADE que cumplen la condición del problema.

En el caso de que la recta NS fuese tangente al círculo tendríamos una única solución y entonces  , siendo en este caso la base del triángulo igual a 1,78 r, es decir ligeramente superior al lado del triángulo equilátero inscrito en el círculo.