Propuesto por Juan Carlos Salazar, Profesor de Geometría del Equipo Olímpico de Venezuela.(Puerto Ordaz).

De Investigación

Problema 389.

En el triángulo ABC se tiene <B=30º, <C=20º, D en BC con BD=AC. Hallar <DAC.

Salazar, J. C. (2004): Comunicación personal.

Solución.-

Construimos el triángulo isósceles CBA’ tomando como ángulo desigual el de 20º y lados iguales a a=CB. Un cómputo elemental de los ángulos nos conduce a que el triángulo AA’B es isósceles y con lados iguales (A’A=A’B) a a-b. El lado desigual es c=AB, que puede expresarse en función de a-b. Se tiene c=2·(a-b)·cos 50º.

Aplicando el teorema de los senos al triángulo ABC se tiene

a =sen A·=sen 130º ·==.

El valor del tercer lado también puede expresarse en función de a-b.

b=a - (a-b) = - (a-b) = (a-b)·= (a-b) =

=(a-b) · después de aplicar las fórmulas de diferencias de senos.

Si tomamos para a-b un valor numérico concreto tendremos un triángulo semejante al del problema. Por sencillez en los cálculos vamos a tomar a-b =sen 20. Con este dato, los lados del triángulo son:

a = sen 100= sen 80; b= sen 40= cos 50 y finalmente c=2 ·sen 20· cos 50º, como se muestra en la figura.

Calculamos d=AD aplicando el teorema del coseno al triángulo ACD. Tenemos en él

d² = sen² 40º + sen² 20º - 2· sen 40º· sen 20º cos 20º = sen² 40º + sen² 20º - sen² 40º

Por tanto d= sen 20º, lo que significa que este triángulo es isósceles siendo iguales los lados DC y DA, y de ello el ángulo DAC mide 20º.