Problema 391:

Si p, r, i R són el semiperímetre, radi del cercle inscrit i radi del cercle circumscrit del triangle . Demostreu que:

.

Solució:

Teorema d’Euler sobre la distància de l’incentre i el circumcentre d’un triangle:

Siga el triangle i siguen R el radi de la circumferència circumscrita(de centre O) i r el radi de la circumferència inscrita(de centre I).

Aleshores:

Aleshores, .

Aplicant el teorema d’Euler:

.