Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez, profesor colaborador de la Universidad de Valladolid.

Problema 391.- Si p, r y R, son el semiperímetro, radio del círculo inscrito y radio del círculo circunscrito al triangulo ABC. Demostrar que p² – 4pr+ r²+ 4rR >0.

Romero, JB. (2007): Comunicación personal.

Solución de Saturnino Campo Ruiz, profesor del IES Fray Luis de León, de Salamanca.-

Todo se reduce a utilizar las desigualdades demostradas en el problema nº 340 de esta revista. En ese problema establecimos .

La segunda desigualdad puede ponerse como r + 4R ≥ p. La primera_, convenientemente simplificada es equivalente a p² ≥ 27 r² o bien p ≥ 3r.

Aplicando la segunda desigualdad podemos poner

p² – 4pr+ r²+ 4rR= p² – 4pr+ r(r+ 4R) ≥ p² – 4pr +pr = p² – (4 – )pr

p² – 4pr + r² + 4rR ≥ p

Si probamos que p – (4 –)r es positivo habremos resuelto el problema.

Tenemos que p ≥ 3r y 3> 4 –, por tanto p > (4–)r. c.q.d.