Problema 393.- Si p, r y R son el semiperímetro, radio del círculo inscrito y radio del círculo circunscrito respectivamente al triángulo ABC, demostrar que . ¿Se alcanza la anulación?

(Propuesto por Juan Bosco Romero Márquez)

Resolución: (por Vicente Vicario García, I.E.S. El SUR, Huelva)

Con la notación habitual en el triángulo y por la desigualdad triangular tenemos que , , . Aplicando la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica

Por otra parte, por la fórmula de Herón del área de un triángulo y usando la expresión del área

lo que nos lleva a la desigualdad

[1]

Por otra parte, de la conocida relación triangular y, de nuevo, utilizando la desigualdad entre la medias aritmética y geométrica

[2]

La expresión dada cumple entonces la desigualdad siguiente

con lo que la anulación no puede conseguirse.

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