Problema 396.- Dado un triángulo obtusángulo ¿Es posible descomponerlo o diseccionarlo en otros triángulos todos ellos acutángulos?.

Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. “EL SUR”, Huelva).

Supondremos que ABC es un triángulo con ángulo obtuso A. Demostraremos que existe una disección en siete triángulos acutángulos y que además, éste es el número mínimo posible para dicha disección.

Sea I el centro de la circunferencia inscrita al triángulo (Incentro). Sean J y J´ los puntos en que se cortan la circunferencia inscrita y los segmentos de bisectrices interiores CI y BI respectivamente. Sean también MN () y PQ () los segmentos interiores al triángulo que intersecan los lados del mismo siendo tangentes a la circunferencia inscrita en los puntos J y J´ respectivamente.

Entonces, los triángulos NCM y PBQ son isósceles debido a la construcción y, por consiguiente, los ángulos del pentágono APQNM son todos obtusos. Al unir I con los vértices del pentágono, también debido a la construcción seguida, obtenemos las bisectrices de los ángulos del pentágono y, por ello, quedan determinados cinco triángulos acutángulos, ya que sus ángulos en los vértices A, P, Q, N y M son agudos y mayores de 45º. Por tanto, los ángulos en  I  también son agudos. Estos cinco triángulos, junto con los triángulos NCM  y PBQ, diseccionan el triángulo dado ABC en siete triángulos acutángulos.

Por otra parte, un razonamiento análogo demuestra que todo triángulo rectángulo también se puede diseccionar en siete triángulos acutángulos. En realidad, podemos demostrar que el número mínimo de triángulos acutángulos en la disección de un triángulo obtusángulo, es siete. Para demostrar esto último, podemos observar que tiene que haber un segmento que divida al ángulo obtuso. Este segmento no puede cortar el lado opuesto, ya que entonces se formaría un triángulo obtusángulo, que, a su vez, sería necesario diseccionar y, por tanto, la disección no sería mínima. Así pues, el segmento que divide el ángulo obtuso debe terminar en un punto interior del triángulo, digamos X. En este vértice deben converger, al menos, cinco segmentos, ya que, en caso contrario, los ángulos en este vértice no serían todos agudos. Ninguno de ellos puede tener el extremo distinto de X  en el interior del triángulo, ya que si fuera así, tendríamos más de siete triángulos acutángulos en la disección. Además, no puede haber tres o más extremos de los cinco segmentos sobre un mismo lado del triángulo, ya que entonces se formaría un triángulo no acutángulo que tendríamos de nuevo que diseccionar, en contra del número mínimo supuesto. La única posibilidad es que dos vértices estén en el lado BC y uno en cada lado AB y AC (además de A). Esto origina los cinco triángulos que forman el pentágono interior, lo que hace el total de siete.

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