Problema 397.- En el triángulo escaleno ABC con 
se consideran las circunferencias inscrita y circunscrita. La recta tangente en A a la circunferencia circunscrita corta a la recta BC en M. Sean S y R los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los catetos AC y AB respectivamente. La recta RS corta a la recta BC en N. Las rectas AM y SR se cortan en U. Demuestre que el triángulo UMN es isósceles.
Resolución: (Vicente Vicario García, I.E.S. “EL SUR”, Huelva).
Con la notación habitual en el triángulo supondremos, sin pérdida de generalidad, que 
. Como el triángulo es rectángulo en A, entonces 
, y además 
(ya que el triángulo es escaleno, por hipótesis).
Sea O el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo ABC, y que, por ser rectángulo, se ubicará en el punto medio de la hipotenusa. Es claro entonces que los triángulos OAB y OAC son isósceles, de manera que 
y 
.
Por otra parte, sea I el centro de la circunferencia inscrita al triángulo ABC. Entonces también es claro que el cuadrilátero ISAT es un cuadrado y, por tanto, tenemos que 
.
Ahora, por ser la recta tangente a la circunferencia circunscrita en A perpendicular al radio, se tiene que 
. También, por la construcción dada, 
. Además, podemos observar en el triángulo BMA que 
.
Finalmente se tiene que:
ya que los ángulos B y C son complementarios.y el triángulo MNU posee dos ángulos iguales 
siendo en consecuencia isósceles.
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