TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS

Prácticamente todo el mundo conoce que 3² + 4² = 5² es la más simple aplicación del Teorema de Pitágoras que establece que la suma de los cuadrados de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Pero en comparación muy pocos conocen que 5, 12, y 13 satisfacen la misma relación sin ser proporcionales a 3, 4 y 5. Y muchos menos todavía podrían dar los lados de un tercer “triángulo pitagórico” distinto de los dos mencionados, por ejemplo, 7, 24 y 25.

Recreations in the theory of numbers (The queen of mathematics entertains).

Albert H. Beiler. Dover Publications Inc.

Los triángulos rectángulos con lados enteros reciben el nombre de triángulos pitagóricos.

A)       Hallar las fórmulas que dan lados enteros para un triángulo rectángulo.

B)        Mostrar que en todo triángulo pitagórico:

Hay uno de los lados que es siempre divisible por 3 y uno por 5.

El producto de los dos catetos es siempre divisible por 12 y el producto de los tres lados es siempre divisible por 60.

C)        Hallar, como propone Diofanto en el problema 18 del libro VI de su Aritmética, los triángulos pitagóricos en el que la longitud de la bisectriz de uno de los ángulos agudos es racional.