Problema 424

TEOREMA DE POMPEÏU

Descubierto por el matemático rumano DIMITRIE POMPEÏU, el teorema es bastante simple; y dice así

“Dado un triángulo equilátero ABC y un punto P en el plano del triángulo ABC, las longitudes PA, PB, PC constituyen los lados de un triángulo. Si P está sobre el círculo circunscrito al triángulo ABC, entonces PA, PB, PC constituyen un triángulo degenerado (el lado más largo es suma de los otros dos).”

A partir de aquí, al triángulo de lados iguales a las longitudes PA, PB, PC lo denominaremos triángulo de Pompeïu.

Este teorema ya fue abordado en el problema º 77 del Laboratorio virtual de triángulos con Cabri II .

József Sándor, en su documento, (On the Geometry of Equilateral Triangles, Forum Geometricorum Volume 5 (2005) 107), presenta una indicación para la demostración del teorema por medio del teorema de Ptolomeo, una determinación gráfica del triángulo de Pompeïu y deriva de ella un cálculo del área.

Nuestra propuesta, orientada a Cabri^® II Plus es la siguiente:

Demostrar de forma gráfica el teorema de Pompeïu,

establecer que si P es interior al triángulo equilátero ABC el triángulo de Pompeïu siempre puede inscribirse en el triángulo equilátero ABC,

establecer también que si P se halla sobre el círculo circunscrito, entonces el triángulo es degenerado

y que si P es exterior, el mismo procedimiento permite la construcción del triángulo de Pompeïu con un vértice en cada una de las rectas AB, BC, CA sin tener que recurrir a procedimientos generales para resolver este tipo de problemas

Pedret, JM (2007): Comunicación personal