Problema 448

Sea A'B'C' el triángulo formado con los puntos medios del triángulo dado ABC.

Denotamos por O_i, G_i, X_i, i = 1, 2, 3, los circuncentros, baricentros y ortocentros de los triángulos AB'C', BC'A' y CA'B', respectivamente.

Probar que :

a) Los triángulos O₁O₂O₃,   G₁G₂G₃, y  X₁X₂X₃  son congruentes al A’B’C’.

b) Si T es el ortocentro del triángulo O₁O₂O₃, entonces T el centro de todos los rectángulos B'C'X₂X₃,  C'A'X₃X₁ y A'B'X₁X₂.

c) Sean A₂, B₁ las proyecciones ortogonales de A', B', respectivamente, sobre AB ; sean B₃, C₂ las proyecciones ortogonales de B', C', respectivamente, sobre BC ; sean A₃, C₁, las proyecciones ortogonales de A', C', respectivamente, sobre AC. Llamemos Q₁, Q₂, Q₃ a los centros de los rectángulos B’C’C₂B₃, C’A’A₃C₁ y A’B’B₁A₂, respectivamente, y llamemos S₁, S₂, S₃ a los puntos de intersección

S₁= A₂C₂ Ç A₃B₃, S₂= B₁C₁ Ç B₃A₃ y S₃ = C₁B₁ Ç C₂A₂.

Demostrar que los triángulos Q₁Q₂Q₃ y S₁S₂S₃ son semejantes por homotecia, de la que se calculará su centro y razón.

d)   B₁C₁ = 2 Q₃Q₂,   A₂C₂ = 2 Q₃Q₁,   A₃B₃ = 2 Q₂Q₁.

Romero, J.B. (2007): Comunicación personal