Problema 459

UNA DEMOSTRACIÓN DISTINTA DEL TEOREMA DE MENELAO

Supondremos que los segmentos son orientados, al igual que las áreas.

i Si A, B, C son tres puntos alineados cualesquiera; demostrar que las longitudes de los segmentos BC, CA, AB cumplen la siguiente relación:

BC + CA + AB = 0.

ii Si A, B, C, D son cuatro puntos alineados cualesquiera; demostrar que las longitudes de los seis segmentos que se forman cumplen la siguiente relación:

BC · AD + CA · BD + AB · CD = 0.

iii Si A, B, C son tres puntos alineados cualesquiera y r una línea recta arbitraria; demostrar que

m· BC + n · CA + p AB = 0,

donde á, â, ã son las distancias respectivas de A, B, C a la recta r.

iv Si A, B, C son tres puntos alineados cualesquiera y U, V dos puntos coplanarios con los tres primeros; demostrar que

[AUV] · BC + [BUV] · CA + [CUV] · AB = 0.

donde [XYZ] representa el área del triángulo XYZ.

v Dado un triángulo ABC, tomamos tres puntos D, E, F sobre los lados BC, CA, AB respectivamente; demostrar que entre las áreas de los triángulos DEF y ABC se cumple la siguiente relación

[DEF] / [ABC] = ( BD · CE · AF - CD · AE · BF ) / ( BC · CA · AB )(el signo menos entre AF y CD es advertido por el proponente el día 27 de abril)

vi Deducir el Teorema de Menelao y su recíproco.

Pedret, J.M. (2008): Comunicación personal