Problema 463

Sea ABC un triángulo cualquiera. Sea A_wB_wC_w un triángulo variable e inscrito en ABC con A_w sobre BC, B_w sobre CA y C_w sobre AB.

(1) Demostrar que los círculos circunscritos a los triángulos AB_wC_w, A_wBC_w, A_wB_wC tienen un punto común W.

(2) Demostrar que para que W sea fijo, los distintos triángulos A_wB_wC_w deben ser semejantes entre sí.

Supongamos que los triángulos A_wB_wC_w varían permaneciendo semejantes al triángulo original ABC de forma que la semejanza sea directa y el homólogo de A se desplace sobre AB (A-> C_w, B-> A_w, C-> B_w).

(3) Demostrar que W es el centro de semejanza entre ABC y A_wB_wC_w.

(4) Demostrar la identidad de los ángulos WAB, WBC y WCA.

En esta situación, llamamos A’ al punto de intersección de BW con la mediatriz de BC, B’ al punto de intersección de CW con la mediatriz de CA y C’ al punto de intersección de AW con la mediatriz de AB.

(5) Demostrar que ABC y A’B’C’ están en perspectiva.

(6) Demostrar que si por los vértices del triángulo ABC trazamos paralelas a los lados de A’B’C’, esas rectas son concurrentes en el círculo circunscrito. Análogamente, demostrar que las perpendiculares por los vértices de ABC a los lados de A’B’C’ también son concurrentes sobre el círculo circunscrito. Demostrar que estos dos puntos de concurrencia son diametralmente opuestos.

(7) Demostrar que W y el circuncentro O del triángulo ABC son concíclicos con A’, B’ y C’.

(8) Demostrar que A’B’C’ es inversamente semejante al triángulo ABC. Hallar la razón de esta semejanza inversa.

 (9) Demostrar que el punto simediano K del triángulo ABC es concíclico con A’, B’ y C’. Demostrar que K es diametralmente opuesto a O en el círculo circunscrito a A’B’C’.

Pedret, J.M. (2008): Comunicación personal.